Один из сотрудников, отработав шесть месяцев, написал заявление на увольнение, если его уволить по соглашению сторон, должен ли тогда работодатель выплачивать отпускные?

Да, работодатель должен выплатить отпускные. В связи с тем, что право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечению шести месяцев, а при увольнении, работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.